面向信息科学的离散数学

章 数理逻辑
1.1 逻辑学概论
1.1.1 逻辑思维的基本规律
1.1.2 命题、推理和论证
1.1.3 逻辑学的历史
习题
1.2 形式命题(1)
1.2.1 简单命题
1.2.2 复合命题与连接词
习题
1.3 命题公式
1.3.1 命题变元
1.3.2 命题公式的定义
1.3.3 永真式与永假式
习题
1.4 形式推理(1)
1.4.1 推理规则
1.4.2 对偶性
1.4.3 推理(1)
习题
1.5 命题范式
1.5.1 主析取范式
1.5.2 主合取范式
习题
1.6 形式命题(2)
1.6.1 谓词
1.6.2 命题函数
1.6.3 量词
习题
1.7 形式推理(2)
1.7.1 谓词公式
1.7.2 推理规则
1.7.3 推理(2)
习题
本章小结
第2章 集合论
2.1 集合概论
2.1.1 集合及其表示
2.1.2 子集
2.1.3 幂集
习题
2.2 集合演算
2.2.1 集合运算
2.2.2 笛卡儿积
2.2.3 集合划分
习题
2.3 函数
2.3.1 数的定义
2.3.2 单射、满射和双射
2.3.3 函数的复合
2.3.4 函数的逆
习题
2.4 集合的大小
2.4.1 数与计数
2.4.2 集合的势
2.5 二元关系
2.5.1 二元关系的定义
2.5.2 几种典型的二元关系
2.5.3 二元关系的复合
2.5.4 二元关系的逆
习题
2.6 等价关系与商集
2.6.1 等价关系
2.6.2 商集
习题
2.7 偏序关系
2.7.1 偏序关系的定义
2.7.2 哈斯图
2.7.3 极性元
2.7.4 偏序子集
习题
本章小结
第3章 抽象代数
3.1 代数学概论
3.1.1 初等代数简介
3.1.2 高等代数简介
3.1.3 抽象代数简介
3.1.4 代数学与信息科学
3.2 群
3.2.1 代数系统
3.2.2 半群
3.2.3 独异点
3.2.4 群的定义
3.2.5 交换群
习题
3.3 子群与陪集
3.3.1 子群
3.3.2 陪集
3.3.3 拉格朗日定理
习题
3.4 群的同构
3.4.1 群同构的定义
3.4.2 循环群
3.4.3 变换群
习题
3.5 置换群
习题
3.6 正规子群与商群
3.6.1 正规子群
3.6.2 商群
3.6.3 群的同态
习题
3.7 群的直积
习题
3.8 环
3.8.1 环的定义
3.8.2 子环
3.8.3 整环、除环和域
习题
3.9 理想与商环
3.9.1 理想
3.9.2 商环
习题
本章小结
第4章 图论
4.1 图论概论
4.1.1 网络与图
4.1.2 图论的历史
4.1.3 图论与信息科学
4.2 图
4.2.1 有向图
4.2.2 无向图
4.2.3 子图
4.2.4.图的同构
4.2.5 图的表示
习题
4.3 图的连通性
4.3.1 连通图
4.3.2 图的连通度
习题
4.4 树
4.4.1 树的定义
4.4.2 树的特征
4.4.3 图的生成树
习题
4.5 平面图
4.5.1 平面图及其嵌入
4.5.2 欧拉公式
习题
4.6 图的遍历
4.6.1 欧拉图
4.6.2 汉密尔顿图
习题
本章小结
参考文献

杨小帆：重庆大学大数据与软件学院教授、博士生导师，教育部新世纪很好人才。1985年在四川大学数学系获理学学士学位，1988年在重庆大学应用数学系获理学硕士学位，1994年在重庆大学计算机系获工学博士学位，1998～1999年访问英国雷丁大学，多次访问香港浸会大学和澳门大学。主持重量项目3项、省部级项目5项。发表SCI论文156篇，2014～2017年连续4年入选Elsevier中国高被引学者榜单(数学类)，有8篇论文入选ESI高被引论文。研究方向包括：网络空间安全，网络传播与控制，网络容错与故障诊断。

离散数学是一门数学课程，研究的是离散数学对象的结构与性质。相比而言，连续数学则研究连续数学对象的结构与性质。几千年来，连续数学一直是数学的主流，相比而言，离散数学则显得有些冷清。从上世纪中叶开始，这种情况发生了很大的改变。1946年，世界上台存储程序电子计算机问世，这标志着人类从此进入了信息社会。互联网、大数据、云计算、物联网、移动互联网的普及，极大地提高了人们的工作效率、学习效率和生活质量，有效改变了人们的工作方式、生活方式和思维方式。我们应该庆幸自己生活在很好的时代！在信息时代，人类的主要任务就是不断地获取、存储、传输、处理和应用数据，数据的存储格式和传输格式都是离散的，对数据的处理方法也是离散的，为了适应这种需求，需要有相应的数学基础，离散数学就是在这种背景下发扬光大的。学习离散数学是学习信息科学各门课程的基础，是从事信息科学研究的基础，也是从事信息技术工作的基础。离散数学有助于我们形成很好的大局观，正确、高效地地设计系统，设计算法，编写程序。

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